/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 3785612

Dany jest odcinek AB o długości 10. Rozpatrujemy wszystkie sześciokąty foremne ACDMEF i trójkąty równoboczne MBG , których wspólny wierzchołek M leży na odcinku AB (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz stosunek obwodu sześciokąta ACDMEF do obwodu trójkąta MBG w przypadku, gdy suma pól tych dwóch wielokątów jest najmniejsza.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a bok sześciokąta foremnego ACDMEF .

PIC

Ponieważ sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych, AM = 2a i MB = 10− 2a . Suma pól sześciokąta ACDMEF i trójkąta MBG jest więc równa

√ -- √ -- √ -- a 2 3 (10 − 2a)2 3 3 2 2 6 ⋅------+ --------------= ---(6a + (10 − 2a ) ) = √4-- 4 4 √ -- --3- 2 2 5--3- 2 = 4 (6a + 10 0− 4 0a+ 4a ) = 2 (a − 4a+ 10).

Dziedziną otrzymanej funkcji jest przedział (0,5) , a jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą sumę pól otrzymamy w wierzchołku, czyli dla

4- a = 2 = 2.

Stosunek obwodów tych figur jest wtedy równy

----6a----- --a--- 2- 3(10 − 2a) = 5− a = 3 .

 
Odpowiedź: 2 3

Wersja PDF