/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 4950702

Na kole o promieniu 4 opisano trójkąt prostokątny. Oblicz długości boków tego trójkąta, którego pole jest najmniejsze.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt prostokątny – oznaczmy BC = a , AC = b i AB = c .

PIC

Z rysunku powinno być jasne, że

c = a + b− 2r = a + b − 8

(mogliśmy też skorzystać ze wzoru a+b −c r = --2--- na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny). Mamy zatem

c+ 8 = a + b / ()2 2 2 2 c + 16c+ 64 = a + 2ab + b / : 2 8c+ 32 = ab.

Podstawiamy w tej równości c = a+ b− 8 i obliczamy b w zależności od a .

ab = 8(a + b − 8) + 32 = 8a+ 8b− 32 b(a − 8) = 8a − 32 ⇒ b = 8a-−-32-. a − 8

Pozostało wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

2 P(a) = 1ab = 1a ⋅ 8a-−-32-= 4⋅ a-−--4a- 2 2 a − 8 a− 8

określoną dla a ∈ (8,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

′ (a2 −-4a)′ ⋅(a-−-8)-−-(a2 −-4a)⋅-(a−-8)′ P (a) = 4⋅ (a− 8 )2 = 2 2 = 4⋅ (2a-−-4)(a-−-8)−--(a-−--4a)-= 4 ⋅ a-−-16a-+-32-. (a − 8)2 (a− 8)2

Rozkładamy trójmian w liczniku.

2 √ --2 Δ = 16 − 4√ ⋅32 = 25 6− 128 = 128 = (8 2) √ -- 16 − 8 2 √ -- 16 + 8 2 √ -- a = ---------- = 8 − 4 2 < 8, lub a = ----------= 8+ 4 2. 2 2

Mamy zatem

√ -- √ -- P ′(a) = 4 ⋅ (a-−-(8-−-4-2-))(a−-(8-+-4---2)) (a− 8 )2

i widzimy, że pochodna jest ujemna dla √ -- a ∈ (8,8 + 4 2) i dodatnia dla a ∈ (8 + 4√ 2-,+ ∞ ) . W takim razie funkcja P(a) maleje w przedziale √ -- (8,8 + 4 2 ⟩ i rośnie w przedziale √ -- ⟨8 + 4 2,+ ∞ ) . Najmniejszą wartość pola otrzymamy więc dla √ -- a = 8+ 4 2 . Mamy wtedy

√ -- √ -- b = 8a-−-32-= 8(8-+-4√-2)-−-32-= 32-+√32---2 = a − 8 8 + 4 2 − 8 4 2 8 + 8√ 2- 8√ 2-+ 8 ⋅2 √ -- = ---√-----= ------------= 4 2+ 8 = a. 2 2

i

√ -- √ -- c = a+ b− 8 = 2a− 8 = 2(8 + 4 2 )− 8 = 8+ 8 2.

 
Odpowiedź: √ -- √ -- √ -- 8 + 4 2, 8 + 4 2, 8+ 8 2

Wersja PDF