Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2314180

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy a i wysokości trapezu jest równa 2.

  • Wyznacz wszystkie wartości a , dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
  • Wykaż, że obwód L takiego trapezu, jako funkcja długości a dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem L(a) = 4a2−8a+8 a
  • Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Oznaczmy tak jak w treści zdania AB = a . Wtedy h = 2 − a . Ponadto trapez jest opisany na okręgu, więc

AD + BC = AB + CD ⇒ AD = a+--b, 2

gdzie CD = b jest długością krótszej podstawy trapezu.

  • Ponieważ h = 2− a , musi być a < 2 . Z drugiej strony, AB ma być dłuższą podstawą trapezu, więc
    a = AB > 2r = h = 2 − a ⇐ ⇒ a > 1,

    gdzie przez r oznaczyliśmy promień okręgu wpisanego w trapez.  
    Odpowiedź: a ∈ (1,2)

  • Obliczmy najpierw długość b krótszej podstawy trapezu – patrzymy na trójkąt prostokątny CF B .
     2 2 2 CF + FB = BC ( a − b) 2 ( a + b) 2 (2 − a)2 + ------ = ------ 2 2 2 a2 ab b2 a2 ab b2 4− 4a+ a + ---− ---+ ---= ---+ ---+ --- 4 2 42 4 2 4 4− 4a+ a = ab

    Zatem  2 b = 4−4aa+a- i obwód trapezu jest równy

    L(a) = a+ b + 2AD = a + b + a + b = 2a + 2b = 8−--8a+--2a2- 8−--8a+--4a2- = 2a+ a = a .
  • Liczymy pochodną funkcji
     2 L (a) = 8-−-8a-+-4a--= 8-− 8 + 4a. a a

    Jest ona równa

     2 2 √ -- √ -- L′(a) = − -8-+ 4 = 4a-−--8-= 4(a-−--2)-= 4(a-−---2-)(a-+---2-). a2 a2 a2 a2

    Widać teraz, że pochodna jest ujemna na przedziale  √ -- (1, 2 ) i dodatnia na przedziale  √ -- ( 2,2) . To oznacza, że L(a) maleje na przedziale  √ -- (1, 2⟩ i rośnie na przedziale  √ -- ⟨ 2,2) . Najmniejszy obwód trapezu otrzymamy więc dla  √ -- a = 2 . Wtedy

     2 √ -- √ -- √ -- b = 4-−-4a-+-a--= 4-−-4√--2-+-2-= 6−√-4--2-= 3 2− 4. a 2 2

    i interesujący nas tangens jest równy

     √ -- √ -- tg∡DAE = DE--= 2−-a-= √--2(2-−√--2)----= -4-−√-2--2--= 1. AE a−b-- 2 − (3 2 − 4) − 2 2 + 4 2

     
    Odpowiedź: 1

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!