Zadanie nr 3923924

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie 2x 2 + (3 − 2m )x − m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki x1,x 2 takie, że |x1 − x2| = 3 .

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 0 < Δ = (3− 2m ) − 8 (−m + 1) 0 < 9 − 12m + 4m 2 + 8m − 8 2 0 < 4m − 4m + 1 0 < (2m − 1)2 m ⁄= 1. 2

Sposób I

Przy założeniu Δ > 0 możemy skorzystać ze wzorów na pierwiastki.

|| √ -- √ --|| ||√ --|| 3 = |x − x | = ||−b-+---Δ- − −b--−---Δ-||= ||--Δ-||= |2m-−--1| 1 2 | 2a 2a | | a | 2 6 = |2m − 1| 6 = 2m − 1 ∨ 6 = − (2m − 1) 2m = 7 ∨ 2m = − 5 7 5 m = 2- ∨ m = − 2-.

Sposób II

Przy założeniu Δ > 0 równanie ma dwa pierwiastki x1,x2 i możemy zastosować wzory Viète’a

{ x1 + x2 = − 3−22m- −m-+1- x1x 2 = 2 .

Przekształcamy teraz żądaną równość tak, aby móc zastosować wzory Viète’a.

|x1 − x2| = 3 / ()2 2 (x1 − x2) = 9 x21 − 2x1x 2 + x 22 = 9 2 (x1 + x2) − 4x1x 2 = 9 ( )2 2m--−-3 − 4 ⋅ −m-+--1 = 9 2 2 4m 2 − 12m + 9 --------------- + 2m − 2 = 9 / ⋅4 4 4m 2 − 12m + 9+ 8m − 4 4 = 0 2 4m − 4m − 35 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

2 Δ = 1 6+ 560 = 576 = 24 4-−-24- 5- 4-+-2-4 7- m = 8 = − 2 ∨ m = 8 = 2 .

Odpowiedź: m = − 5 2 lub m = 7 2