Zadanie nr 1309734
Podstawą trójkąta równoramiennego jest bok
, gdzie
i
. Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu
. Oblicz współrzędne wierzchołka
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Prosta powstaje z prostej
przez przesunięcie o trzy jednostki w dół, oraz przechodzi przez punkty
,
.
Sposób I
Ponieważ trójkąt jest równoramienny i
jest jego podstawą, wierzchołek
leży na symetralnej odcinka
. Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na wiele sposobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt
i prostopadłej do wektora
.

W naszej sytuacji mamy oraz

Zatem symetralna odcinka ma równanie

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny tej prostej z podaną prostą . Podstawiamy
do powyższego równania.

Stąd . Zatem
.
Sposób II
Szukamy punktu na podanej prostej, który spełnia równość:
(bo trójkąt
ma być równoramienny i
jest jego podstawą). Ponieważ punkt
leży na prostej
jego współrzędne możemy zapisać w postaci
i dostajemy równanie

Stąd i
.
Odpowiedź: