Zadanie nr 1699201

Podstawa trójkąta równoramiennego ABC jest zawarta w prostej o równaniu y = − 2x + 16 . Wierzchołki i mają współrzędne B = (3,10) i C = (− 2,3) . Oblicz współrzędne wierzchołka i pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ punkt leży na prostej y = −2x + 16 , więc ma on postać A = (x,− 2x + 16) .

Zapiszmy teraz warunek BC = AC .

BC 2 = AC 2 (− 2− 3)2 + (3− 1 0)2 = (− 2− x)2 + (3+ 2x− 16)2 = (2 + x)2 + (2x − 13 )2 2 2 25 + 49 = 4 + 4x + x + 4x − 52x + 169 0 = 5x 2 − 48x + 99 Δ = 2304 − 1980 = 324 = 18 2 4 8− 18 48 + 18 66 33 x = -------- = 3 lub x = --------= ---= ---= 6,6. 10 1 0 10 5

Pierwsze rozwiązanie daje współrzędne punktu , więc musi być x = 335 , czyli

( ) ( ) 33- 66- 3-3 14- A = (x,− 2x + 16) = 5 ,− 5 + 16 = 5 , 5 .

Aby obliczyć pole trójkąta ABC , korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA,yA ) , B = (xB,yB ) i C = (xC ,yC) .

1 PABC = --|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2

Mamy więc

|( ) ( ) ( ) ( ) | 1 | 33 14 14 3 3 | PABC = --|| 3− --- ⋅ 3 − --- − 1 0− --- ⋅ − 2 − --- || = 2 |( 5) 5( ) | 5| |5 1-|| 18- 1- 36- 43- || 1-||−1-8+--1548|| = 2 | − 5 ⋅5 − 5 ⋅ − 5 | = 2 | 25 | = = 1-⋅ 1530-= 153. 2 25 5

Sposób II

Napiszmy najpierw równanie wysokości trójkąta ABC . Jest prosta postaci 1 y = 2x + b (bo jest prostopadła do ) oraz przechodzi przez punkt , więc

3 = −1 + b ⇒ b = 4.

Szukamy teraz punktu wspólnego prostych i .

{ y = 12x + 4 y = − 2x + 16.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

1 0 = -x + 2x + 4 − 16 2 12 = 5x ⇒ x = 24-. 2 5

Stąd y = − 2x + 16 = − 458+ 16 = 325 i ( ) D = 254, 325 . Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, spodek wysokości jest środkiem jego podstawy . Stąd