Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6165929

Punkt A = (7,− 1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2 + y2 = 10 . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Rozpoczniemy od napisania równań stycznych do danego okręgu poprowadzonych z punktu A . Każda prosta, która nie jest pionowa i przechodzi przez punkt A ma równanie postaci

y = a(x− 7)− 1 = ax − (7a + 1).

Są różne sposoby ustalenia dla jakich wartości a prosta tej postaci jest styczna do danego okręgu, można np. wstawić y = a(x− 7)− 1 do równania okręgu i sprawdzić, kiedy otrzymane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie (licząc deltę). Inny sposób to skorzystać ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- . A + B

W naszej sytuacji odległość punktu O = (0,0) od prostej y = ax − (7a + 1) musi być równa  √ --- r = 10 . Sprawdzamy kiedy tak jest.

 √ --- 10 = |√7a-+-1|- /()2 1 + a2 1 0+ 1 0a2 = (7a + 1)2 = 49a 2 + 1 4a+ 1 0 = 39a2 + 14a − 9 2 Δ = 196 + 140 4 = 1600 = 40 −-14-−-40- 27- 9-- −-14+--40- 13- 1- a = 2 ⋅39 = − 39 = − 13 lub a = 2⋅ 39 = 39 = 3.

Proste AB i AC mają więc odpowiednio równania

 9 ( 63 ) 9 50 AB : y = ax − (7a + 1) = − ---x − − ---+ 1 = − ---x + --- 1 3 ( 1)3 1 3 13 1 7 1 10 AC : y = ax − (7a + 1) = 3x − 3-+ 1 = 3-x− -3-.

Zauważmy teraz, że łatwo jest napisać równanie osi symetrii CD trójkąta ABC (czyli jego wysokości/dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka C ). Jest to prosta prostopadła do podstawy AB i przechodząca przez środek O = (0,0) okręgu wpisanego. Jest to więc prosta  13 y = 9 x . Szukamy teraz jej punktu wspólnego C z prostą AC .

{ 13 y = -9 x y = 1x − 10 3 3

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

 13 3 1 0 0 = ---x− -x + --- 9 9 3 − 10-= 10-x ⇒ x = − 3. 3 9

Stąd  13 13 y = -9 x = − 3- i  ( 13) C = − 3,− -3 .

Wyznaczmy jeszcze punkt wspólny D prostych CD i AB .

{ 13 y = 9-x y = − 9-x+ 50 13 13

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

 13 9 50 250 50 0 = ---x + ---x− ---= ---x − --- 9 13 13 117 13 x = 50-⋅ 117-= 9. 13 250 5

Stąd  13 13 y = -9 x = -5 i  ( 9 13) D = 5,5- . Pozostało teraz obliczyć współrzędne punktu B – korzystamy z tego, że punkt D jest środkiem podstawy AB .

 A + B D = ------- ⇒ 2D = A + B 2 ( ) ( ) B = 2D − A = 18-, 26 − (7,− 1) = − 17, 31- . 5 5 5 5

 
Odpowiedź:  ( ) B = − 17, 31 = (− 3,4; 6,2) 5 5 ,  ( ) C = − 3,− 13- 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!