/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Najmniejsze pole

Zadanie nr 2711591

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 2. Na bokach BC i CD tego kwadratu wybrano – odpowiednio – punkty P i Q , takie, że długość odcinka |PC | = |QD | = x (zobacz rysunek). Wyznacz tę wartość x , dla której pole trójkąta AP Q osiąga wartość najmniejszą. Oblicz to najmniejsze pole.

PIC

Rozwiązanie

Sposób I

Pole trójkąta AP Q będzie najmniejsze jeżeli suma pól trójkątów prostokątnych ABP ,P CQ i ADQ będzie największa. Szukamy zatem wartości największej funkcji

P(x ) = PABP + PPCQ + PADQ = 1 1 1 = --⋅1 ⋅(2− x)+ --⋅x ⋅(2− x)+ --⋅2 ⋅x = 2 2 2 = 1(2 − x + 2x − x2 + 2x) = 1-(−x 2 + 3x + 2) 2 2

określonej dla x ∈ (0,2) . Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla

−b-- −-3- 3- x = 2a = − 2 = 2.

Na koniec pozostaje zauważyć, że otrzymana wartość x należy do dziedziny funkcji P(x ) .

Sposób II

Dorysujmy na płaszczyźnie układ współrzędnych tak, aby A = (0 ,0 ) i C = (2,2) . Wtedy Q = (x,2) i P = (2,2− x) .

PIC

Zatem ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA ,yA ) , B = (xB,yB) i C = (xC ,yC ) .

1- PABC = 2|(xB − xA )(yC − yA )− (yB − yA )(xC − xA )|

mamy

P = 1-|(2 − 0 )(2− 0 )− (2 − x − 0 )(x − 0)| = APQ 2 1 1 2 1( 2 ) = 2-|4− (2 − x )x| = 2|x − 2x + 4| = 2- (x− 1) + 3 .

Widać teraz, że najmniejszą wartość pola otrzymamy dla x = 1 i jest ono równe 32 .  
Odpowiedź: x = 1 , P = 3 min 2

Wersja PDF