/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Najmniejsze pole

Zadanie nr 3358474

Na kole o promieniu 12 opisano trójkąt prostokątny. Oblicz długości boków tego trójkąta, którego pole jest najmniejsze.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt prostokątny – oznaczmy BC = a , AC = b i AB = c .

PIC

Z rysunku powinno być jasne, że

c = a + b − 2r = a+ b − 24

(mogliśmy też skorzystać ze wzoru a+b −c r = --2--- na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny). Mamy zatem

c + 24 = a+ b /()2 2 2 2 c + 48c + 576 = a + 2ab+ b / : 2 24c + 288 = ab.

Podstawiamy w tej równości c = a+ b− 24 i obliczamy b w zależności od a .

ab = 2 4(a+ b− 2 4)+ 288 = 24a + 24b − 288 b(a − 24) = 2 4a− 288 ⇒ b = 24a-−-288-. a − 24

Pozostało wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

2 P(a) = 1-ab = 1-a⋅ 24a-−-288-= 12 ⋅ a-−-12a- 2 2 a− 2 4 a − 24

określoną dla a ∈ (24,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

′ (a2 −-1-2a)′ ⋅(a-−-24)-−-(a2 −-12a)-⋅(a−-24)′ P (a) = 1 2⋅ (a − 24)2 = 2 2 = 1 2⋅ (2a−--12)(a−--24)−--(a-−--12a)-= 1 2⋅ a-−-4-8a+--288. (a − 24)2 (a − 24)2

Rozkładamy trójmian w liczniku.

2 √ --2 Δ = 48 − 4 ⋅√288 = 2 304− 1152 = 1152 = (24 2) √ -- 48 − 24 2 √ -- 48+ 24 2 √ -- a = ----------- = 24 − 12 2 < 24, lub a = -----------= 24+ 12 2. 2 2

Mamy zatem

√ -- √ -- P ′(a) = 12⋅ (a−--(24−--12--2))(a-−-(24-+-12--2-))- (a− 2 4)2

i widzimy, że pochodna jest ujemna dla √ -- a ∈ (24,2 4+ 12 2) i dodatnia dla a ∈ (24 + 12 √ 2,+ ∞ ) . W takim razie funkcja P(a) maleje w przedziale √ -- (24 ,2 4+ 12 2⟩ i rośnie w przedziale √ -- ⟨2 4+ 12 2,+ ∞ ) . Najmniejszą wartość pola otrzymamy więc dla √ -- a = 24 + 12 2 . Mamy wtedy

√ -- √ -- b = 2-4a−--288 = 24(24-+-12√-2-)−-28-8-= 2-88+-√288--2 = a − 24 2 4+ 1 2 2− 24 12 2 2 4+ 24√ 2- 24√ 2-+ 24 ⋅2 √ -- = ----√------ = --------------= 1 2 2+ 24 = a. 2 2

i

√ -- √ -- c = a+ b− 2 4 = 2a − 24 = 2 (24+ 12 2) − 24 = 24 + 2 4 2.

 
Odpowiedź: √ -- √ -- √ -- 24 + 12 2 , 24 + 12 2, 24 + 24 2

Wersja PDF