/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 5310854

Dana jest funkcja x4+16 f (x ) = x2+ 4 określona dla x ∈ R . Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x , spełniona jest nierówność f (x) ≥ 2x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność, którą mamy udowodnić w sposób równoważny.

4 x--+-16-≥ 2x /⋅ (x2 + 4) x2 + 4 x 4 + 1 6 ≥ 2x3 + 8x 4 3 x − 2x − (8x − 16) ≥ 0 x 3(x − 2)− 8 (x− 2) ≥ 0 (x 3 − 8 )(x− 2) ≥ 0.

Sposób I

Zauważmy, że jeżeli x ≥ 2 , to wyrażenia w obu nawiasach są nieujemne, więc ich iloczyn też jest nieujemny. Podobnie, jeżeli x < 2 , to wyrażenia w obu nawiasach są ujemne, więc ich iloczyn jest dodatni.

Sposób II

Przekształcamy nierówność dalej – korzystamy ze wzory

a 3 − b3 = (a− b )(a2 + ab + b 2)

na różnicę sześcianów. Mamy zatem

(x3 − 23)(x − 2) ≥ 0 2 2 (x − 2) (x + 2x + 4) ≥ 0 .

Pierwszy czynnik lewej strony jest oczywiście nieujemny, a wyrażenie w drugim nawiasie jest zawsze dodatnie (bo Δ = − 12 < 0 ).

Wersja PDF
Rozwiązanie Losuj ponownie