/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Liczba osób

Zadanie nr 1295591

W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe 1- 15 . Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli w programie wzięło udział n aktorów, to wszystkich foteli jest n + 3 i trzy sąsiednie możemy wybrać na n + 1 sposobów. To oznacza, że trójkę sportowców możemy usadzić obok siebie na

(n+ 1)⋅ 3!⋅n! = 6(n + 1 )!

sposobów (najpierw wybieramy trzy sąsiednie fotele, potem ustalamy kolejność sportowców, a na koniec ustalamy kolejność aktorów). Otrzymujemy więc równanie

1 6 (n+ 1)! 6(n + 1)! --- = ----------= ----------------------- 1 5 (n + 3)! (n + 3)(n + 2 )(n+ 1)! (n + 2)(n + 3) = 6⋅ 15 2 n + 5n − 8 4 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 Δ = 2 5+ 336 = 361 = 19 − 5− 19 − 5 + 19 n = ---------= − 12 lub n = ---------= 7. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy n = 7 .  
Odpowiedź: 7

Wersja PDF