Zadanie nr 1295591
W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe . Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.
Rozwiązanie
Jeżeli w programie wzięło udział aktorów, to wszystkich foteli jest
i trzy sąsiednie możemy wybrać na
sposobów. To oznacza, że trójkę sportowców możemy usadzić obok siebie na
![(n+ 1)⋅ 3!⋅n! = 6(n + 1 )!](https://img.zadania.info/zad/1295591/HzadR3x.gif)
sposobów (najpierw wybieramy trzy sąsiednie fotele, potem ustalamy kolejność sportowców, a na koniec ustalamy kolejność aktorów). Otrzymujemy więc równanie
![1 6 (n+ 1)! 6(n + 1)! --- = ----------= ----------------------- 1 5 (n + 3)! (n + 3)(n + 2 )(n+ 1)! (n + 2)(n + 3) = 6⋅ 15 2 n + 5n − 8 4 = 0.](https://img.zadania.info/zad/1295591/HzadR4x.gif)
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![2 Δ = 2 5+ 336 = 361 = 19 − 5− 19 − 5 + 19 n = ---------= − 12 lub n = ---------= 7. 2 2](https://img.zadania.info/zad/1295591/HzadR5x.gif)
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy .
Odpowiedź: 7