/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Warunkowe i całkowite/Urna

Zadanie nr 7878316

W pudełku umieszczono n kul (n ≥ 3 ) wśród których dokładnie 2 kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli wylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest czarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie zawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe 37 50 . Oblicz n .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Mamy do czynienia z prawdopodobieństwem całkowitym – jeżeli najpierw wylosujemy kulę białą, to potem kulę białą losujemy spośród (n − 3) kul białych 3 kul czarnych, a jeśli najpierw wylosujemy kulę czarną, to potem kulę białą losujemy spośród (n − 1) kul białych i 1 kuli czarnej. Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

n− 2 n − 3 2 n − 1 (n − 2)(n − 3) + 2(n − 1) ------⋅------+ --⋅------= --------------------------= n n n n n2 n2-−-5n-+-6-+-2n-−-2- n-2 −-3n-+-4 = n2 = n2 .

Możemy też tę sytuację przedstawić na drzewku.

ZINFO-FIGURE

Pozostało teraz rozwiązać równanie

n2 −-3n-+-4- 37- n2 = 50 2 2 50n − 15 0n+ 200 = 3 7n 13n 2 − 15 0n+ 200 = 0 .

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 1502 − 4⋅ 13⋅2 00 = 2250 0− 10400 = 1 2100 = 11 02 n = 150-−-110-= 40-= 20- lub n = 150-+-1-10 = 2-60 = 10 . 2 6 26 13 26 26

Oczywiście n musi być liczbą naturalną, więc n = 10 .  
Odpowiedź: n = 10

Wersja PDF