/Konkursy/Zadania/Nierówności

Zadanie nr 9712841

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność

x(x − 1 )+ y (y− 1) ≥ xy − 1.

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

x(x − 1) + y(y − 1 ) ≥ xy − 1 x2 − x + y2 − y ≥ xy − 1 / ⋅2 2 2 2x − 2x + 2y − 2y − 2xy + 2 ≥ 0 (x2 − 2x + 1) + (y2 − 2y + 1) + (x2 − 2xy + y2) ≥ 0 (x − 1)2 + (y − 1)2 + (x− y)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Wersja PDF