Zadanie nr 6187487

Uzasadnij, że złożenie funkcji rosnącej i malejącej jest funkcją malejącą.

Rozwiązanie

Oznaczmy podane funkcje przez f : X → Y i g: Y → Z , wtedy ich złożenie to funkcja h : X → Z dana wzorem

h(x) = g(f(x)).

Wiemy, że

f(x1) > f(x 2) dla x1,x2 ∈ X, x1 > x2 g(y1) < g(y2) dla y 1,y2 ∈ Y, y 1 > y2.

A chcemy udowodnić, że

h(x1) < h(x 2) dla x1,x2 ∈ X, x1 > x2

Liczymy

x > x ⇒ f (x ) > f(x ) ⇒ 1 2 1 2 ⇒ g (f (x1)) < g(f (x2)) ⇒ h(x1) < h (x2).