/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną/Rozwiąż nierówność

Zadanie nr 4089851

Rozwiąż nierówność |2x + 2|+ |x− 2| > 5 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zapiszmy podaną nierówność w postaci

2|x+ 1|+ |x − 2| > 5.

Żeby móc opuścić wartości bezwzględne rozważymy 3 przypadki.

Jeżeli x < − 1 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są ujemne i mamy nierówność

2(−x − 1)− (x− 2) > 5 − 2x− 2− x+ 2 > 5 − 3x > 5 / : (− 3) 5 x < − --. 3

Czyli w tym przypadku otrzymujemy przedział 5 (− ∞ ,− 3) .

Jeżeli − 1 ≤ x < 2 to mamy nierówność

2(x + 1)− (x− 2) > 5 2x + 2− x + 2 > 5 x > 1

co daje przedział rozwiązań (1 ,2) .

Jeżeli natomiast x ≥ 2 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są dodatnie i mamy nierówność

2(x + 1)+ (x− 2) > 5 3x > 5 / : 3 5 x > --. 3

Zatem w tym przypadku zbiorem rozwiązań jest przedział ⟨2,+ ∞ ) .

Łącząc wszystkie otrzymane rozwiązania otrzymujemy zbiór rozwiązań:

( 5 ) − ∞ ,− -- ∪ (1,+ ∞ ). 3

 
Odpowiedź: ( ) − ∞ ,− 53 ∪ (1 ,+∞ )

Wersja PDF