Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki
Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 26 kwietnia 2008 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Narysuj wykres funkcji  2 f (x) = |x(x + 1)|− x + x i odczytaj z niego ilość rozwiązań równania f (x) = m .

Zadanie 2
(5 pkt)

Punkty A = (− 3,2) i C = (9,6) są przeciwległymi wierzchołkami rombu o polu 40. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Zadanie 3
(5 pkt)

Fragment palisady wokół średniowiecznego grodu składa się z coraz krótszych pionowych bali. Najwyższy z bali ma długość 350 cm, a każdy kolejny jest krótszy o 5 cm. Wiedząc, że całkowita długość wszystkich bali wynosi 50 m oblicz ile jest tych bali i jaka jest długość najkrótszego z nich.


PIC


Zadanie 4
(4 pkt)

Oto w jaki sposób można uzasadnić, że suma odległości dowolnego punktu P wewnątrz trójkąta równobocznego od boków tego trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od wyboru tego punktu.


PIC


  • Łączymy punkt P z wierzchołkami trójkąta i zapisujemy równość pól
    PABC = PABP + PBCP + PCAP .
  • Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta
    1 1 1 1 1 -ah = -ah 1 + -ah2 + --ah3 = --a(h1 + h2 + h3). 2 2 2 2 2
  • Wnioskujemy, że h 1 + h 2 + h 3 = h , a więc suma ta nie zależy od wyboru punktu P .

Postępując w analogiczny sposób wykaż, że suma odległości dowolnego punktu P wewnątrz czworościanu foremnego od jego ścian jest stała, to znaczy nie zależy od wyboru punktu P .

Zadanie 5
(3 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie równym 2 , i ilorazie równym 10. Wykaż, że wszystkie punkty o współrzędnych (2n,log an) leżą na jednej prostej.

Zadanie 6
(5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez jego wysokość oraz przez dwie krawędzie boczne jest dwukrotnie większe od pola podstawy i wynosi 6√ 3- . Oblicz odległość spodka wysokości ostrosłupa od jego krawędzi bocznej.

Zadanie 7
(4 pkt)

Wykres funkcji 3 −x przesunięto o wektor → v = [3,a] otrzymując wykres funkcji g(x) . Wiedząc, że wykresy funkcji g(x) i lo g7x przecinają się na osi OX oblicz a . Narysuj wykres funkcji g(x) .

Zadanie 8
(6 pkt)

Liczbę naturalną nazywamy palindromiczną, jeżeli nie zmienia się po zapisaniu jej cyfr w odwrotnej kolejności. Liczbami palindromicznymi są np. liczby 5, 33, 1123211. Liczby 10, 3230 nie są palindromiczne.

  • Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba siedmiocyfrowa jest liczbą palindromiczną.
  • Oblicz prawdopodobieństwo, że suma dwóch losowo wybranych liczb dwucyfrowych jest nieparzystą dwucyfrową liczbą palindromiczną.

Zadanie 9
(4 pkt)

Liczby x = 1 i x = − 2 są pierwiastkami wielomianu ax4 + 2x 3 − 3ax 2 + 2ax− 6x + 4 . Wiedząc, że wielomian ten jest kwadratem wielomianu stopnia 2, oblicz a .

Zadanie 10
(5 pkt)

Dany jest pięciokąt foremny ABCDE o boku długości a . Wiedząc, że  ∘ √-5−1 cos 72 = 4

  • wykaż, że długość przekątnej pięciokąta ABCDE jest równa  - 1+√-5 2 a ;
  • oblicz długość promienia okręgu wpisanego w pięciokąt ABCDE .

Zadanie 11
(5 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji  2 2 2 f(x ) = (x − 2x − 2) + 4(x − 2x − 2) − 1 .

ArkuszWersja PDF