/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 2512757

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x 2 + 3x + 2m−−m3 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek x3+ x3 > − 9 1 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 − m 4m − 8 9m − 27+ 4m − 8 13m − 35 0 < Δ = 9 − 4 ⋅------ = 9 + ------- = ------------------= ---------- m − 3 (m − 3 ) m − 3 m − 3 35- 0 < (13m − 35)(m − 3) = 13 m − 13 (m − 3) ( ) m ∈ − ∞ , 35 ∪ (3,+ ∞ ). 13

Przy tym założeniu możemy skorzystać ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = − 3 x1x 2 = 2m−−m3.

Zauważmy ponadto, że

x3+ x3 = (x1 + x2)3 − 3x1x 2(x 1 + x 2). 1 2

Mamy zatem do rozwiązania nierówność.

2− m (− 3)3 − 3⋅ ------⋅(− 3) > − 9 m − 3 − 27 + 9 + 9⋅ 2−--m- > 0 / : (− 9) m − 3 m − 2 2 + ------ < 0 m − 3 3m--−-8 < 0 m(− 3 ) 8 3 m − -- (m − 3) < 0 ( 3 ) 8- m ∈ 3,3 .

W połączeniu z warunkiem na Δ -ę mamy stąd

( ) 8 35 m ∈ 3-,13- .

 
Odpowiedź: (8 35) m ∈ 3,13

Wersja PDF