/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 5874268

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x 2 + (m + 1)x − m 2 + 1 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x 2 (x1 ⁄= x2) , spełniające warunek x 31 + x 32 > − 7x1x2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 2 2 2 0 < Δ = (m + 1) + 4m − 4 = m + 2m + 1 + 4m − 4 0 < 5m 2 + 2m − 3 Δ = 4+ 60 = 64 −-2−--8 −-2+--8 3- m 1 = 10 = − 1, m2 = 10 = 5 ( 3 ) m ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ -,+ ∞ . 5

Przy tym założeniu możemy skorzystać ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = − (m + 1) x x = −m 2 + 1. 1 2

Zauważmy ponadto, że

3 3 3 x1 + x2 = (x1 + x2) − 3x1x 2(x 1 + x 2).

Mamy zatem do rozwiązania nierówność.

3 2 2 − (m + 1) −[ 3(m − 1)(m + 1 ) > 7(m − 1 ) =] 7(m + 1 )(m − 1) 0 > (m + 1) 7(m − 1) + (m + 1)2 + 3 (m 2 − 1) [ ] 0 > (m + 1) 7m − 7 + m 2 + 2m + 1 + 3m 2 − 3 [ 2 ] 0 > (m + 1) 4m + 9m − 9 .

Rozkładamy trójmian w nawiasie

Δ = 81 + 14 4 = 225 = 152 m = −-9-−-15-= − 3 lub m = −-9-+-15-= 6-= 3. 8 8 8 4

Mamy zatem nierówność

( ) 0 > 4(m + 1)(m + 3) m − 3- 4 ( 3) m ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ − 1, -- . 4

W połączeniu z warunkiem na Δ -ę mamy stąd

( ) m ∈ (− ∞ ,− 3)∪ 3-, 3 . 5 4

 
Odpowiedź: ( ) m ∈ (− ∞ ,− 3)∪ 3, 3 5 4

Wersja PDF