Zadanie nr 1147099
Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie
z niewiadomą
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie
Przekształćmy odrobinę równanie tak, aby miało prostszą postać.
![||x + 1− 2|| ||---------|| = −m . | x + 1 | | 2 | ||1− x+--1|| = −m .](https://img.zadania.info/zad/1147099/HzadR0x.gif)
Sposób I
Możemy narysować wykres lewej strony równania – zaczynamy od hiperboli , przesuwamy ją o 1 jednostkę w górę i 1 jednostkę w lewo, następnie odbijamy część poniżej osi
do góry.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/1147099/HzadR3x.gif)
Z tego wykresu łatwo odczytać, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli
.
Sposób II
Po pierwsze, jeżeli to równanie to nie ma rozwiązań. Jest też jasne, że jeżeli
, to to jedynym rozwiązaniem równania jest
. Załóżmy więc, że
. Wtedy równanie jest równoważne dwóm równaniom
![2 2 1 − ------= −m lub 1− ------= m x+ 1 x + 1 1 + m = --2--- lub 1 − m = --2--- x+ 1 x + 1 2 2 x + 1 = 1-+-m- lub x + 1 = 1−-m-- x = --2--- − 1 lub x = --2---− 1 . 1 + m 1− m](https://img.zadania.info/zad/1147099/HzadR10x.gif)
Powyższy rachunek ma oczywiście sens tylko jeżeli . Dla
lewe równanie jest sprzeczne, więc interesujące nas równanie ma jedno rozwiązanie.
Sprawdźmy jeszcze tylko, czy otrzymane wyżej pierwiastki mogą być równe
![2 2 ------ − 1 = ------− 1 1 + m 1− m ---2-- = --2--- 1 + m 1− m 1 + m = 1 − m ⇐ ⇒ m = 0.](https://img.zadania.info/zad/1147099/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: lub