/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Bez treści/Oszacowania

Zadanie nr 6285915

A ,B są zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω . Wykaż, że jeżeli P(A ) = 0,9 i P (B) = 0,7 , to P(A ∩ B′) ≤ 0,3 (B′ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B ).

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Rozpoczynamy od naszkicowania diagramu Venna.

PIC

Przyglądając się diagramowi możemy zauważyć, że

P (A ∩ B′) = P (A ∖ B) = P (A )− P (A ∩ B ) = 0,9 − P(A ∩ B).

Musimy więc oszacować P(A ∩ B ) . Korzystamy z niezastąpionego wzoru na sumę zdarzeń

P(A ∪ B) = P (A )+ P (B) − P (A ∩ B ).

W szczególności

1 ≥ P(A ∪ B) = P (A )+ P(B )− P (A ∩ B ) = 0,9+ 0,7 − P(A ∩ B) − 0,6 ≥ −P (A ∩ B).

Mamy stąd

′ P (A ∩ B ) = 0,9 − P (A ∩ B ) ≤ 0,9− 0,6 = 0,3.

Sposób II

Zauważmy, że

P(B ′) = 1 − P (B) = 0 ,3.

W takim razie

′ ′ P (A ∩ B ) ≤ P (B ) = 0,3

(bo ′ ′ A ∩ B ⊆ B ).

Wersja PDF