Zadanie nr 9789961

Rozwiąż równanie 2 2 2sin x− 2sin xcos x = 1 − cos x w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy dane równanie zapisać w postaci

2(1− cos2x )− 2 (1− cos2x) cosx = 1− cosx .

Podstawmy teraz t = cos x

2 2 2(1 − t ) − 2(1 − t )t = 1− t. 2(1 − t)(1 + t)− 2(1− t)(1+ t)t = 1 − t.

Widać, że każdy składnik jest podzielny przez 1 − t , zatem t = 1 jest jednym z rozwiązań równania.

Jeżeli teraz założymy, że t ⁄= 1 to możemy podzielić równanie stronami przez 1 − t . Otrzymamy wtedy

2(1+ t) − 2(1 + t)t = 1 2+ 2t − 2t − 2t2 = 1 2 1 = 2t 2 1- t = 2 √ -- √ -- t = − --2- ∨ t = --2-. 2 2

Szkicujemy teraz funkcję cosinus i odczytujemy z wykresu rozwiązania równań √ - cos x = ± --2 2 i cos x = 1 w podanym przedziale ⟨0,2 π⟩ .

Rozwiązaniami równania są

{ } x ∈ 0, π, 3π-, 5π-, 7π-,2π . 4 4 4 4

Sposób II

Tym razem przekształcimy równanie nie podstawiając za cosinus.

2 2 2 sin x − 2 sin x cosx = 1− cosx 2 sin2x(1 − co sx) − (1 − cos x) = 0 2 (2 sin x − 1)(1 − co sx) = 0 ( 1 ) 2 sin 2x − -- (1− cosx ) = 0 ( √2--) ( √ -) 2 2 2 sin x − ---- sinx + ---- (1 − cos x) = 0 2 2 √ -- √ -- sin x = --2- ∨ sin x = − --2- ∨ cosx = 1. 2 2

Rozwiązania tych równań znajdujemy tak samo jak w I sposobie.
Odpowiedź: { } x ∈ 0, π4-, 34π, 5π4-, 74π,2π