/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 3348110

Rozważamy wszystkie trapezy równoramienne o obwodzie równym 96 i kącie ostrym o mierze 30∘ .

Podaj wzór funkcji opisującej zależność pola takiego trapezu od długości jego ramienia.
Oblicz wymiary tego z rozważanych trapezów, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Jeżeli oznaczymy przez wysokość trapezu, to z trójkąta prostokątnego mamy
$DE-- ∘ AD = sin 30 h 1 1 --= -- ⇒ h = -x. x 2 2$

Pole trapezu jest więc równe

$AB--+--CD- 96−--2x- x- 1- P(x) = PABCD = 2 ⋅h = 2 ⋅2 = 2x (48− x).$

Odpowiedź:
Wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość pola otrzymamy w wierzchołku paraboli, czyli dla (w środku między pierwiastkami). Wtedy pole jest równe
$1 P = --⋅24 ⋅24 = 288 . 2$

Aby obliczyć długości podstaw trapezu raz jeszcze patrzymy na trójkąt prostokątny .

$AE ----= cos30 ∘ AD √ -- √ -- AE-- --3- --3- √ -- 24 = 2 ⇒ AE = 2 ⋅24 = 12 3.$

Jeżeli teraz oznaczmy , to

$96 = (AD + BC ) + (AE + F B)+ (EF + CD ) 96 = 48+ 24√ 3-+ 2a √ -- √ -- 2a = 48− 24 3 ⇒ a = 24− 12 3.$

Stąd

$√ -- CD = a = 24 − 12 3 √ -- √ -- √ -- AB = 2AE + a = 24 3 + 2 4− 1 2 3 = 24 + 12 3.$

Odpowiedź: Podstawy: i , ramiona: 24 i 24, pole: 288.

Rozwiązanie Losuj ponownie