/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 6808654

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne ABC o przeciwprostokątnej AB i obwodzie równym 4. Niech x = |AC | .

  • Wykaż, że pole P trójkąta ABC jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem
    x(4 − 2x) P(x) = ---------- 4− x
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

  • Jeżeli oznaczymy BC = a , to z twierdzenia Pitagorasa mamy
    2 2 2 AB = AC + BC 2 2 2 (4− a− x) = x + a 16 + a2 + x2 − 8a − 8x + 2ax = x2 + a2 16 − 8x = 2a(4 − x) ⇒ a = 8-−-4x-. 4− x

    Pole trójkąta ABC jest więc równe

    1 1 1 8 − 4x x (4− 2x ) PABC = -AC ⋅BC = --⋅x ⋅a = --⋅x ⋅-------= ----------. 2 2 2 4− x 4 − x
  • Oczywiście musi być x > 0 oraz x < 4 (bo cały obwód ma być równy 4). Ponadto,
    8 − 4x 4 (x− 2) 0 < BC = ------- = ---------, 4 − x x − 4

    czyli x < 2 . Dziedziną jest więc przedział (0,2) .  
    Odpowiedź: (0,2)

  • Liczymy pochodną funkcji P (x) = 4x−-2x2 4−x .
    ′ (4x-−-2x2)′ ⋅-(4−-x-)−-(4x−--2x2)-⋅(4−--x)′ P (x) = (4 − x)2 = 2 = (4−--4x)-⋅(4−--x)−--(4x-−-2x-)-⋅(−-1)-= (4 − x)2 2 2 2 = 16-−-16x-−-4x-+-4x--+--4x−--2x--= 2(x--−-8x-+-8). (4 − x )2 (4 − x)2

    Rozkładamy jeszcze trójmian w liczniku.

    √ --2 Δ = 64 − 3 2 = 32 = (4 2) -- 8− 4√ 2 √ -- 8 + 4√ 2 √ -- x = ---------= 4 − 2 2 lub x = ---------= 4+ 2 2. 2 2

    Widać teraz, że w przedziale (0,2 ) pochodna ma jedno miejsce zerowe √ -- x = 4 − 2 2 i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja P (x) rośnie w przedziale √ -- (0,4 − 2 2⟩ i maleje w przedziale √ -- ⟨4 − 2 2,2) . Największą wartość pola otrzymamy więc dla √ -- x = 4 − 2 2 . Pozostałe boki trójkąta mają wtedy długości

    √ -- √ -- √ -- BC = 4(2-−-x-)= 4(2--2√-−-2-)= 4(4-−-2--2-)= 4 − 2 2 4− x 2 2 4 √ -- √ -- √ -- AB = 4 − AC − BC = 4 − (4 − 2 2 )− (4 − 2 2 ) = 4 2 − 4.

    Pole trójkąta ABC jest wtedy równe

    √ -- √ -- √ -- P = 1AC ⋅BC = 1-⋅(4 − 2 2)2 = 1(16 − 16 2 + 8) = 12− 8 2. ABC 2 2 2

     
    Odpowiedź: √ -- AB = 4 2− 4 , √ -- AC = BC = 4− 2 2 , √ -- PABC = 1 2− 8 2

Wersja PDF