Zadanie nr 5263736

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 8, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy 1:2 oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 28. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a,2a,b długości krawędzi prostopadłościanu.

Z podanej objętości mamy

8 = a⋅2a ⋅b ⇒ b = 4-. a2

Zapiszmy jeszcze warunek z sumą długości wszystkich krawędzi mniejszą od 28.

28 > 4(2a + a+ b) / : 4 4 3a3 + 4 7 > 3a+ b = 3a + -2-= ----2--- /⋅ a2 a a 0 > 3a3 − 7a2 + 4.

Aby rozwiązać tę nierówność musimy najpierw rozłożyć prawą stronę na czynniki. Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków prawej strony jest a = 1 . Dzielimy więc ten wielomian przez a− 1 . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 2 2 3a − 7a + 4 = 3a − 3a − 4a + 4 = 3a (a − 1) − 4(a − 1) = = 3a 2(a− 1)− 4(a+ 1)(a− 1) = (a− 1)(3a2 − 4a − 4).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.

2 3a − 4a − 4 = 0 Δ = 16 + 48 = 64 4 − 8 2 4 + 8 a = ------= − -- lub a = ------= 2. 6 3 6

Mamy zatem nierówność

( 2) 0 > 3(a− 1) a+ -- (a− 2 ) ( ) 3 2- a ∈ − ∞ ,− 3 ∪ (1,2).

Ponieważ interesują nas tylko dodatnie wartości , mamy stąd a ∈ (1,2) .

Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

( 12) Pc = 2(2a2 + ab + 2ab ) = 2(2a2 + 3ab) = 2 2a2 + --- . a

Dziedziną tej funkcji jest przedział a ∈ (1,2) .

Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji f(a) = 2a2 + 12 a określonej dla a ∈ (1,2) . Liczymy pochodną

( ) 12 4a 3 − 1 2 4 a3 − 3 f′(a) = 4a − -2-= -----2--- = -----2----. a a a

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla 3√ -- a ∈ (1, 3) i dodatnia dla √3-- a ∈ ( 3,2 ) . To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale √3-- (1, 3⟩ i rosnąca w przedziale √ -- ⟨ 33,2) . Najmniejsze pole otrzymamy więc dla √ -- a = 33 . Pozostałe krawędzie prostopadłościanu mają wtedy długości 3√ -- 2a = 2 3 i