/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny/Kąty

Zadanie nr 5918856

W trójkącie równoramiennym ABC : |AC | = |BC | = 10 , a miara kąta ABC jest równa 30∘ . Na boku BC wybrano punkt P , taki, że |BP|= 2 |PC| 3 . Oblicz sinus kąta α (zobacz rysunek).

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech D i E będą rzutami punktów C i P na bok AB

PIC

Sposób I

Szukany sin α = sin ∡PAB obliczymy z twierdzenia sinusów w trójkącie ABP , ale zanim to zrobimy obliczamy długość odcinka AP . Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ACB .

AP 2 = CA 2 + CP 2 − 2CA ⋅CP cos 120∘ = 100 + 3 6− 2 ⋅10 ⋅6 ⋅cos(180 ∘ − 60 ∘) = ∘ 2 = 13 6+ 1 20co s60 = 1 36+ 60 = 196 = 14 .

Zatem AP = 14 i na mocy twierdzenia sinusów w trójkącie ABP mamy

BP AP BP 4 1 1 ----- = ------∘ ⇒ sin α = ----⋅sin30 ∘ = ---⋅--= -. sinα sin 30 AP 14 2 7

Sposób II

Tym razem obejdziemy się bez twierdzenia sinusów. Jeżeli D i E są rzutami odpowiednio punktów C i P na postawę AB , to każdy z trójkątów CDB i P EB jest połówką trójkąta równobocznego, więc

PE = 1-BP = 2 2 √ -- BC 3 √ -- DB = ------- = 5 3 2√ -- BP---3- √ -- EB = 2 = 2 3 √ -- √ -- √ -- AE = 2DB − EB = 10 3 − 2 3 = 8 3.

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AEP .

∘ ----------- √ -------- √ ---- AP = AE 2 + P E2 = 1 92+ 4 = 196 = 14.

Mamy zatem

sin α = PE--= 2--= 1-. AP 14 7

Sposób III

Trójkąt BDC jest prostokątny, więc

√ -- BD--= cos3 0∘ = --3- ⇒ BD = 5√ 3-. BC 2

Piszemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie ABP .

AB BP ---------∘----------∘---= ----- sin ∡ (180 − (α + 30 )) sin α AB sinα = BP sin(30∘ + α) √ -- ∘ ∘ 10 3sinα = 4sin 30 cosα + 4 sin α cos30 √ -- √ -- 10√ --3sinα = 2co sα + 2 3 sin α 8 3 sinα = 2co sα / ()2 2 2 19 2sin α = 4(1 − sin α) 2 4 2 1 sin α = ---- ⇒ sin α = ---= -. 196 14 7

 
Odpowiedź: 1 7

Wersja PDF