Zadanie nr 1845619

Oblicz długość krzywej danej równaniami t x = e(co st+ sin t) , y = et(co st− sin t) , gdzie t ∈ [0,1] .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

∫ b∘ ----------------- [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt a

na długość krzywej o parametryzacji (x(t),y(t)) , gdzie t ∈ [a,b] .

Liczymy

x′(t) = (etcost + etsint)′ = etcos t− etsin t+ etsin t+ etcos t = 2etcos t, ′ t t ′ t t t t t y (t) = (e cost − e sint) = e cost − e sint − e sint − e cos t = − 2e sin t, (x ′(t))2 = 4e2tco s2 t, ( ) y ′(t) 2 = 4e2tsin2t.

Mamy zatem

∫ π ∘ ----------------- ∫ 1∘ ---------------------- 2 [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt = 4e2tco s2t+ 4e2t sin 2tdt = 0 0 ∫ 1√ --- ∫ 1 t √ --[ t]π = 2 e2tdt = 2 edt = 2 e 20 = 2 (e − 1). 0 0

Odpowiedź: 2(e − 1)