Zadanie nr 2463785

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x2y2 + 2x 2 + 2y 2 − 8xy + 4 > 0.

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 2 2 x y + 2x + 2y − 8xy + 4 > 0 2(x2 + y2 − 2xy) + (x2y 2 − 4xy + 4) > 0 2 2 2(x − y) + (xy − 2) > 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo z założenia x ⁄= y ), a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Traktujemy lewą stronę nierówności jak funkcję kwadratową

f(x) = x 2(y2 + 2)− 8xy + (2y2 + 4)

zmiennej z parametrem . Ponieważ

2 2 2 2 2 2 Δ = (8y) − 4(2y + 4)(y + 2) = 8(8y − (y + 2 ) ) = = 8(8y2 − y4 − 4y2 − 4) = − 8(y 4 − 4y 2 + 4 ) = − 8(y2 − 2)2 ≤ 0

parabola będąca wykresem funkcji y = f(x) nigdy nie ma punktów leżących poniżej osi (dla y2 = 2 jest styczna do osi , a w pozostałych przypadkach leży w całości powyżej osi ). To oznacza, że faktycznie zawsze f (x ) ≥ 0 . Aby udowodnić ostrą nierówność zauważmy, że równość może zachodzić tylko gdy 2 y = 2 . Wtedy

2 2 2 2 f(x ) = 4x − 8xy + 8 = 4(x − 2xy + y ) = 4(x− y)

i równość f(x) = 0 prowadzi do sprzeczności z założeniem x ⁄= y .

Sposób III

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 2 2 x y + 2x + 2y − 8xy + 4 > 0 / ⋅2 2x2y2 + 4x2 + 4y2 − 16xy + 8 > 0 2 2 2 2 (4x + 4y − 8xy) + 2(x y − 4xy + 4) > 0 (2x− 2y)2 + 2(xy − 2)2 > 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo z założenia x ⁄= y ), a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób IV

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

x 2y2 + 2x 2 + 2y2 − 8xy + 4 > 0 2 2 (x + 2)(y + 2 ) > 8xy.

Zauważmy teraz, że na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną mamy

2 ----- x--+-2- √ 2 √ -- 2 ≥ x ⋅2 = 2⋅ |x | y2 + 2 ∘ ----- √ -- -------≥ y2 ⋅2 = 2 ⋅|y|. 2

Mamy stąd

2 2 √ -- √ -- (x + 2)(y + 2) ≥ 2 2⋅|x| ⋅2 2⋅ |y | = 8 |xy | ≥ 8xy.

Ponadto równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy 2 2 x = y = 2 i |xy | = xy , czyli gdy √ -- x = y = ± 2 . Ponieważ z założenia x ⁄= y mamy

(x2 + 2)(y2 + 2) > 8xy.

Sposób V

Tak jak w poprzednim sposobie przekształcamy nierówność do postaci

2 2 (x + 2)(y + 2) > 8xy.

Zauważmy teraz, że jeżeli liczby i różnią się znakiem, lub gdy jedna z nich jest zerem, to nierówność jest oczywiście spełniona (lewa strona jest zawsze dodatnia). Jeżeli natomiast obie są ujemne, to możemy zmienić znaki obu liczb i nierówność pozostanie dokładnie taka sama (dokładniej: możemy podstawić ′ x = −x i ′ y = −y i pozostanie do udowodnienia nierówność z liczbami dodatnimi i ). Możemy więc założyć, że x > 0 i y > 0 . Dzielimy wtedy nierówność stronami przez i mamy

x2 + 2 y 2 + 2 -------⋅-------> 8 ( x ) (y ) 2- 2- x + x y+ y > 8.

Zauważmy teraz, że

( -- √ -) 2 √ -- √ -- x+ 2-= √ x− √-2- + 2 2 ≥ 2 2. x x

Ponadto równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy √ -- x = 2 . Analogicznie

2 √ -- y + y-≥ 2 2,

więc

( 2) ( 2) √ -- √ -- x + -- y+ -- ≥ 2 2⋅2 2 = 8. x y

Ponadto równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy √ -- x = y = 2 , więc przy założeniu x ⁄= y nierówność jest ostra.

Sposób VI

Tak samo jak w poprzednim sposobie zauważmy, że możemy założyć, że x > 0 i y > 0 oraz sprowadzamy nierówność do postaci

( ) ( ) x + 2- y+ 2- > 8. x y

Badamy teraz przebieg zmienności funkcji f (x) = x + 2x dla x > 0 . Liczymy pochodną

2 √ -- √ -- f ′(x) = 1− 2--= x-−--2-= (x-−----2)(x+----2). x2 x2 x2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale √ -- (0, 2 ) i dodatnia w przedziale √ -- ( 2,+ ∞ ) . To oznacza, że w √ -- x = 2 funkcja przyjmuje najmniejszą wartość i mamy