/Szkoła średnia/Ciągi/Dowolny/Różne

Zadanie nr 9767045

O ciągu (xn) dla n ≥ 1 wiadomo, że:

  • ciąg (an ) określony wzorem an = 3xn dla n ≥ 1 jest geometryczny o ilorazie q = 27 .
  • x + x + ⋅⋅⋅+ x = 145. 1 2 10

Oblicz x 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Po pierwsze zauważmy, że z podanych informacji wynika, że ciąg (xn ) jest arytmetyczny. Rzeczywiście, wiemy, że dla każdego n ≥ 1 mamy

xn+1 27 = an+-1 = 3---- an 3xn 33 = 3xn+1−xn 3 = xn+ 1 − xn .

Zatem (xn) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 3 .

Korzystając ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy więc

2x1-+-9r- 145 = S 10 = 2 ⋅10 145 = (2x 1 + 2 7)⋅5 / : 5 29 = 2x 1 + 27 2x = 2 1 x1 = 1.

 
Odpowiedź: x = 1 1

Wersja PDF