/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 5186669

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a1,a2,a3) spełniona jest równość a1 + a2 + a3 = 214 . Wyrazy a1, a2, a3 są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a 1 .

Rozwiązanie

Z podanej informacji o sumie i o ciągu geometrycznym mamy układ równań.

{ a1 + a2 + a3 = 214 a2 = a a 2 1 3

Dodatkowo mamy informację o ciągu arytmetycznym, z której otrzymujemy a2 = a 1 − 2r i a3 = a1 − 3r . Mamy więc równania

{ 21 a1 + a1 − 2r + a1 − 3r = -4 (a1 − 2r)2 = a1(a 1 − 3r) { 3a 1 − 5r = 21 2 4 2 2 a1 − 4a1r + 4r = a1 − 3a1r

Przekształćmy drugie równanie

2 4r − a1r = 0 ( 1 ) 4r r− -a 1 = 0 . 4

Jeżeli r = 0 to a1 = a2 = a3 , co jest sprzeczne z założeniem, że ciąg arytmetyczny ma być rosnący. Zatem r = 14a1 i z pierwszego równania mamy

5 21 3a1 − --a1 = --- / ⋅4 4 4 7a1 = 2 1 ⇒ a1 = 3.

 
Odpowiedź: a1 = 3

Wersja PDF