/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 6771462

Ciąg (a ,b,c) jest geometryczny i a + b + c = 26 , zaś ciąg (a − 5 ,b − 4 ,c − 11 ) jest arytmetyczny. Oblicz a,b,c .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro liczby a,b,c tworzą ciąg geometryczny to są postaci 2 a,aq,aq . Z podanej sumy mamy

2 a+ aq+ aq = 26 a(1+ q+ q2) = 26 a = ----26----. 1 + q + q2

Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby

(a− 5,b− 4,c− 1 1) = (a− 5,aq − 4,aq2 − 11)

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem

2(aq − 4) = (a − 5) + (aq2 − 11) 2 8 = a + aq − 2aq 8 = a(1 − 2q + q2).

Podstawiamy teraz ---26--- a = 1+q +q2 .

26 (1+ q + q 2) 8 = ----------(1 − 2q + q2) / ⋅ ------------ 1+ q+ q2 2 4 + 4q + 4q 2 = 13− 26q + 13q2 9q 2 − 30q + 9 = 0 / : 3 2 3q − 10q + 3 = 0 Δ = 102 − 4 ⋅32 = 64 q = 10-−-8-= 1- ∨ q = 10+--8-= 3. 6 3 6

Dla 1 q = 3 mamy

26 26 2 6 a = ----------= ------ = --- = 18 1 + 13 + 19 9+39+-1 193

i wtedy a = 18 ,b = 6,c = 2 .

Dla q = 3 mamy

---2-6---- ----26---- a = 1+ 3+ 32 = 1 + 3 + 9 = 2

i wtedy a = 2,b = 6,c = 18 .

Sposób II

Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli b 2 = ac . Wiemy ponadto, że

a+ b+ c = 26

oraz liczby (a − 5,b − 4,c − 11) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli

2 (b− 4 ) = (a− 5)+ (c− 11 ) 2b + 8 = a+ c.

Podstawiając a+ c = 2b+ 8 w równości a + b + c = 26 mamy

2b + 8 + b = 2 6 ⇒ 3b = 18 ⇒ b = 6.

Zatem

a+ c = 2b + 8 = 20 .

Podstawiamy teraz c = 20 − a do równości ac = b 2 = 36 .

a(20 − a) = 36 2 0 = a − 20a + 3 6 Δ = 202 − 4 ⋅36 = 400 − 1 44 = 256 = 162 a = 20−--16-= 2 ∨ a = 20-+-16-= 18. 2 2

Mamy wtedy odpowiednio c = 20 − a = 18 i c = 20 − a = 2 odpowiednio.  
Odpowiedź: (a,b,c) = (1 8,6,2) lub (a,b,c) = (2 ,6,18)

Wersja PDF