Zadanie nr 4959143
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji
oraz
(zobacz rysunek).
Funkcje oraz
są określone wzorami
oraz
. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt
. Niech
będzie punktem leżącym na wykresie funkcji
. Wykaż, że odległość punktu
od punktu
wyraża się wzorem
![∘ --------------------- 1 |P R| = -x 4 − x 3 − 2x 2 + 3 2, 4](https://img.zadania.info/zad/4959143/HzadT13x.gif)
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu
.
Rozwiązanie
Jeżeli
![( 1 7 ) ( 1 ) R = (x,f(x)) = x,− -(x − 1 )2 + -- = x ,− -x2 + x + 3 , 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/4959143/HzadR0x.gif)
to
![∘ ---------------------------------- ∘ ----------------------- ( )2 |PR | = (x − 4)2 + (f(x )+ 1)2 = x2 − 8x + 16 + − 1x 2 + x + 4 = 2 ∘ ---------------------------------------------- = x2 − 8x + 16 + 1x4 + x2 + 16 − x3 − 4x 2 + 8x = ∘ ----------------4---- 1 = --x4 − x3 − 2x2 + 32. 4](https://img.zadania.info/zad/4959143/HzadR1x.gif)
Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
![(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc.](https://img.zadania.info/zad/4959143/HzadR2x.gif)