/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/W geometrii/Różne

Zadanie nr 9665110

Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli trójkąt ten będziemy obracać wokół dłuższej przyprostokątnej, to otrzymamy stożek, którego pole powierzchni bocznej wynosi 32π . Oblicz długości boków tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku


PIC


Wiemy, że liczby (α,β ,90∘) tworzą ciąg arytmetyczny (ciąg arytmetyczny jest zawsze monotoniczny, więc jest to jedna z dwóch możliwych kolejności miar kątów, druga to: (9 0∘,β,α) ; ta druga możliwość prowadzi jednak do tego samego wyniku).

Ponieważ α,β są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym, więc α + β = 90∘ . W ciągu arytmetycznym, wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich, więc

2β = α+ 90∘ = 90 ∘ − β + 90∘ 3β = 180∘ ⇒ β = 60∘.

Stąd  ∘ ∘ α = 90 − β = 30 oraz

a 1 c --= sin α = -- ⇒ a = -- c 2√ -- 2 √ -- b- --3- --3- c = cosα = 2 ⇒ b = 2 c.

Wykorzystujemy informację o polu powierzchni bocznej.

πac = 32π / : π -c 2 ⋅c = 32 2 c = 6 4 ⇒ c = 8.

Stąd

 c a = --= 4 2√ -- 3 √ -- b = -2-c = 4 3.

 
Odpowiedź:  √ -- 4,4 3 ,8

Wersja PDF
spinner