/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/W geometrii/Różne

Zadanie nr 4435659

Długości boków trójkąta ABC są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a jeden z jego kątów ma miarę 120∘ . Objętość prostopadłościanu, którego trzy krawędzie mają taką samą długość jak boki trójkąta ABC jest równa 840. Oblicz objętość największej kuli jaka może być umieszczona wewnątrz tego prostopadłościanu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku i oznaczmy boki trójkąta przez a− r,a i a + r , gdzie r > 0 .

PIC

Ponieważ w trójkącie naprzeciw większego kąta leży większy bok, kąt o mierze 120 ∘ leży naprzeciwko boku długości a+ r . Piszemy twierdzenie cosinusów w tym trójkącie

AB 2 = BC 2 + AC 2 − 2⋅BC ⋅AC ⋅cos 120∘ ( ) (a+ r)2 = a2 + (a − r)2 − 2a(a − r) ⋅ − 1- 2 2 2 2 2 2 2 a + 2ar+ r = a + a − 2ar + r + a − ar 2 2- 5ar = 2a ⇒ r = 5 a.

Stąd

a − r = a − 2a = 3-a 5 5 2 7 a + r = a + 5a = 5-a.

Boki trójkąta ABC mają więc długości: 3a,a, 7a 5 5 . Łatwo teraz wykorzystać podaną informację o objętości prostopadłościanu:

3 7 21 3 25 84 0 = --a⋅a ⋅--a = ---a / ⋅--- 53 5 25 21 100 0 = a ⇒ a = 1 0.

Szkicujemy prostopadłościan – musimy ustalić jaką największą kulę możemy w nim umieścić.

PIC

Zauważmy, że każda kula zawarta w prostopadłościanie ma średnicę mniejszą niż każda z krawędzi prostopadłościanu. W takim razie średnica kuli umieszczonej w prostopadłościanie opisanym w treści zadania nie może być większa niż 6. Z drugiej strony, kula o średnicy 6 mieści się w całości w prostopadłościanie, więc interesująca nas objętość jest równa

V = 4-π ⋅33 = 36 π. 3

 
Odpowiedź: 36π

Wersja PDF