Zadanie nr 8670332

Funkcja określona jest wzorem x2+4x+-5 f (x) = x2+4x . Znajdź taki wektor →u = [p,0] , aby po przesunięciu wykresu funkcji o wektor otrzymać wykres funkcji parzystej. Podaj wzór funkcji, której wykres otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji o znaleziony wektor.

Rozwiązanie

Na początku zapiszmy podany wzór funkcji w trochę prostszej postaci

2 2 f(x) = x--+--4x+--5 = x--+-4x- + ---5----= 1 + ---5----. x 2 + 4x x 2 + 4x x2 + 4x x2 + 4x

Jeżeli przsuniemy tę funkcję o wektor → u = [p ,0] , to otrzymamy funkcję

5 g(x ) = f(x − p) = 1+ -------2------------= (x− p) + 4(x − p) ------------5------------ ------------5------------ 1 + x2 − 2px + p2 + 4x − 4p = 1 + x2 + 2x (2 − p )+ p2 − 4p.

Pozostało sprawdzić, kiedy (dla jakiego ) ta funkcja jest parzysta.

g(x) = g(−x ) 5 5 1 + x2-+-2x-(2−-p-)+--p2 −-4p = 1+ x2 −-2x(2-−-p)-+-p2-−-4p- ------------5------------ = ------------5------------ x2 + 2x (2− p)+ p2 − 4p x2 − 2x(2 − p )+ p 2 − 4p 2 2 2 2 x − 2x(2 − p )+ p − 4p = x + 2x (2− p )+ p − 4p − 2x(2 − p) = 2x(2 − p) 4x(2 − p ) = 0 ⇒ p = 2.

Żeby było jasne, ostatnia równość 4x (2− p) = 0 musi być spełniona dla wszystkich z dziedziny funkcji (jest to tak naprawdę równość dwóch funkcji, a nie liczb), dlatego z równości tej wynika, że 2− p = 0 , a nie np. x = 0 .