Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5887660

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od 1. Jeżeli weźmiemy kolejno drugą z nich, pierwszą i trzecią, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jeżeli pierwszy wyraz tego ciągu arytmetycznego zmniejszymy o 7, drugi pozostawimy bez zmian, a trzeci zwiększymy o 3, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz te liczby.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Powiedzmy, że dane liczby to  2 a,aq,aq , gdzie q ⁄= 1 . Wiemy, że ciąg (aq,a ,aq 2) jest ciągiem arytmetycznym, a (aq − 7 ,a,aq2 + 3) geometrycznym. Daje to nam równania

{ 2a = aq+ aq2 2 2 a = (aq− 7)(aq + 3).

Zauważmy, że gdyby a = 0 , to drugie równanie jest sprzeczne, więc możemy założyć, że a ⁄= 0 . Z pierwszego równania mamy zatem

2a = aq + aq2 / : a 2 q + q− 2 = 0 Δ = 1+ 8 = 9 − 1 − 3 − 1 + 3 q = ------- = − 2 lub q = ------- = 1 . 2 2

Z założenia q ⁄= 1 , więc q = − 2 . Z drugiego równania układu obliczamy teraz a .

 2 a = (−2a − 7)(4a+ 3) a2 = −8a 2 − 6a − 28a− 21 2 9a + 34a + 21 = 0 Δ = 115 6− 7 56 = 400 a = −-34−--20-= − 54-= − 3 lub a = −-34+--20-= − 7. 18 18 18 9

Otrzymujemy więc dwa ciągi spełniające warunki zadania.

 ( ) 7- 14- 28- (− 3,6,− 12) lub − 9 , 9 ,− 9 .

 
Odpowiedź: (− 3,6,− 12) lub ( 7 14 28) − 9, 9 ,− 9

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!