Zadanie nr 6771462
Ciąg jest geometryczny i
, zaś ciąg
jest arytmetyczny. Oblicz
.
Rozwiązanie
Sposób I
Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny to są postaci
. Z podanej sumy mamy
![2 a+ aq+ aq = 26 a(1+ q+ q2) = 26 a = ----26----. 1 + q + q2](https://img.zadania.info/zad/6771462/HzadR2x.gif)
Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby
![(a− 5,b− 4,c− 1 1) = (a− 5,aq − 4,aq2 − 11)](https://img.zadania.info/zad/6771462/HzadR3x.gif)
są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem
![2(aq − 4) = (a − 5) + (aq2 − 11) 2 8 = a + aq − 2aq 8 = a(1 − 2q + q2).](https://img.zadania.info/zad/6771462/HzadR4x.gif)
Podstawiamy teraz .
![26 (1+ q + q 2) 8 = ----------(1 − 2q + q2) / ⋅ ------------ 1+ q+ q2 2 4 + 4q + 4q 2 = 13− 26q + 13q2 9q 2 − 30q + 9 = 0 / : 3 2 3q − 10q + 3 = 0 Δ = 102 − 4 ⋅32 = 64 q = 10-−-8-= 1- ∨ q = 10+--8-= 3. 6 3 6](https://img.zadania.info/zad/6771462/HzadR6x.gif)
Dla mamy
![26 26 2 6 a = ----------= ------ = --- = 18 1 + 13 + 19 9+39+-1 193](https://img.zadania.info/zad/6771462/HzadR8x.gif)
i wtedy .
Dla mamy
![---2-6---- ----26---- a = 1+ 3+ 32 = 1 + 3 + 9 = 2](https://img.zadania.info/zad/6771462/HzadR11x.gif)
i wtedy .
Sposób II
Liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
. Wiemy ponadto, że
![a+ b+ c = 26](https://img.zadania.info/zad/6771462/HzadR15x.gif)
oraz liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli
![2 (b− 4 ) = (a− 5)+ (c− 11 ) 2b + 8 = a+ c.](https://img.zadania.info/zad/6771462/HzadR17x.gif)
Podstawiając w równości
mamy
![2b + 8 + b = 2 6 ⇒ 3b = 18 ⇒ b = 6.](https://img.zadania.info/zad/6771462/HzadR20x.gif)
Zatem
![a+ c = 2b + 8 = 20 .](https://img.zadania.info/zad/6771462/HzadR21x.gif)
Podstawiamy teraz do równości
.
![a(20 − a) = 36 2 0 = a − 20a + 3 6 Δ = 202 − 4 ⋅36 = 400 − 1 44 = 256 = 162 a = 20−--16-= 2 ∨ a = 20-+-16-= 18. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6771462/HzadR24x.gif)
Mamy wtedy odpowiednio i
odpowiednio.
Odpowiedź: lub