/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 9466617

Liczby a,b,c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a− 2,b,2c + 1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a,b,c .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Skoro podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, możemy je oznaczyć przez b− r,b,b + r . Z podanej sumy mamy więc

27 = (b− r)+ b + (b + r) = 3b ⇒ b = 9.

Zatem szukane liczby to 9 − r,9,9+ r .

Pozostało teraz skorzystać z drugiej informacji: jeżeli trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to kwadrat środkowej musi być równy iloczynowi pozostałych, czyli

2 b = (a− 2)(2c+ 1) 9 2 = (7− r)(19+ 2r) 2 8 1 = 133 + 14r − 19r − 2r 2r 2 + 5r − 52 = 0 Δ = 25 + 41 6 = 441 = 2 12 − 5− 21 −2 6 13 − 5 + 21 r = ---------= -----= − --- ∨ r = ---------= 4. 4 4 2 4

Są zatem dwa takie ciągi

( 31 5) ---,9,-- , (5,9,13). 2 2

 
Odpowiedź: ( ) (a,b,c) = 312 ,9, 52 lub (a,b,c) = (5 ,9,13)

Wersja PDF