/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne

Zadanie nr 9615938

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) , dla n ≥ 1 taki, że a5 = 1 8 . Wyrazy a1, a3 oraz a13 tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n –ty wyraz ciągu (an ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że an = a1 + (n− 1)r dla pewnej liczby r ∈ R . Wiemy też, że liczby a1,a3 i a13 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, więc

a23 = a1a13 2 (a1 + 2r) = a1(a1 + 12r) a21 + 4a1r+ 4r2 = a21 + 12a1r 2 4r = 8a1r / : 4 r(r− 2a1) = 0.

Ponieważ z założenia ciąg (a ) n jest rosnący, mamy stąd r = 2a 1 . Pozostało skorzystać z warunku a5 = 1 8 . Mamy zatem

18 = a5 = a 1 + 4r = a1 + 8a 1 = 9a1 ⇒ a1 = 2 .

Stąd r = 2a1 = 4 i an = 2+ 4(n − 1) = 4n − 2 .  
Odpowiedź: an = 4n − 2 dla n ≥ 1

Wersja PDF