/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 2

Zadanie nr 1252119

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż równanie 2 2co s x − cos x = sin2x − sin x w przedziale ⟨0 ,2π⟩ .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

sin 2α = 2 sinα cos α.

Przekształcamy dane równanie

2co s2x − cos x = sin2x − sin x 2co s2x − cos x = 2 sin x cosx − sin x co sx(2 cosx − 1) = sin x(2 cosx − 1 ).

Mamy teraz dwie możliwości. Albo

1 { π 5π } 2 cosx = 1 ⇐ ⇒ cosx = -- ⇐ ⇒ x ∈ --,--- 2 3 3

lub 2cos x ⁄= 1 i otrzymujemy wtedy równanie

co sx = sin x.

Rozwiązania tego równania możemy odczytać z wykresów funkcji y = sinx i y = cosx .

PIC

Możemy też zauważyć, że równania nie spełnia żadna wartość x , dla której cosx = 0 (bo wtedy sinx = ± 1 ) i równanie przekształcić następująco:

co sx = sin x / : cosx { } 1 = sin-x-= tgx ⇐ ⇒ x ∈ π-, 5π . cosx 4 4

Dane równanie w danym przedziale ma więc cztery rozwiązania:

{ } x ∈ π-, π-, 5π-, 5π . 4 3 4 3

 
Odpowiedź: x ∈ { π-, π, 5π-, 5π} 4 3 4 3

Wersja PDF