/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 2

Zadanie nr 7690072

Rozwiąż równanie 2 3co s2x + 10 cos x = 24sin x− 3 dla x ∈ ⟨0,2π ⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zapiszemy dane równanie tak, aby zawierało tylko sin x . Skorzystamy po drodze ze wzorów

2 2 sin x + cos x = 1 cos2x = 1 − 2sin2 x.

Przekształcamy równanie i podstawiamy t = sinx .

3 cos 2x+ 10co s2x = 2 4sinx − 3 3 (1− 2 sin2x )+ 1 0(1− sin 2x) = 24 sinx − 3 2 2 3 (1− 2t ) + 10(1 − t ) = 24t − 3 0 = 16t2 + 24t− 16 / : 8 2 0 = 2t + 3t − 2 Δ = 9 + 16 = 25 t = −-3−--5 = − 2 ∨ t = −-3-+-5 = 1. 4 4 2

Ponieważ t ∈ ⟨− 1,1⟩ , mamy stąd t = 12 , czyli

sin x = 1- 2

Szkicujemy sinusa.

PIC

Z wykresu odczytujemy rozwiązania

{ } { } x ∈ π-,π − π- = π-, 5π . 6 6 6 6

 
Odpowiedź: { } x ∈ π, 5π-- 6 6

Wersja PDF