Zadanie nr 8042337
Dane jest równanie kwadratowe z niewiadomą
. Wyznacz wszystkie wartości parametru
, dla których różne rozwiązania
i
tego równania istnieją i spełniają warunek
![2x21 + 5x1x2 + 2x22 = 2.](https://img.zadania.info/zad/8042337/HzadT5x.gif)
Rozwiązanie
Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.
![2 2 0 < Δ = (3m + 2) − 4(2m + 7m − 15) = = 9m 2 + 12m + 4 − 8m 2 − 28m + 60 = m 2 − 16m + 64 = (m − 8)2.](https://img.zadania.info/zad/8042337/HzadR0x.gif)
Musi więc być . Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a
![{ x1 + x2 = 3m + 2 x x = 2m 2 + 7m − 15 . 1 2](https://img.zadania.info/zad/8042337/HzadR2x.gif)
Przekształćmy teraz podaną równość.
![2 2 2 2 2 2 = 2x 1 + 5x1x2 + 2x2 = 2(x1 + x2)+ 5x1x2 = 2(x 1 + x 2) + x 1x2 2 = 2 (3m + 2 )2 + (2m 2 + 7m − 15) = 2 2 2 = 2 (9m + 12m + 4) + 2m + 7m − 15 = 20m + 31m − 7 0 = 2 0m 2 + 3 1m − 9 Δ = 312 + 4 ⋅9⋅ 20 = 961 + 72 0 = 1681 = 412 m = −3-1−--41-= − 7-2 = − 9- lub m = −-31+--41-= 10-= 1. 40 4 0 5 40 40 4](https://img.zadania.info/zad/8042337/HzadR3x.gif)
Obie otrzymane wartości spełniają oczywiście warunek .
Odpowiedź: ,