/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Równania z pierwiastkami

Zadanie nr 8042337

Dane jest równanie kwadratowe 2 2 x − (3m + 2)x + 2m + 7m − 15 = 0 z niewiadomą x . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których różne rozwiązania x1 i x 2 tego równania istnieją i spełniają warunek

2x21 + 5x1x2 + 2x22 = 2.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 2 0 < Δ = (3m + 2) − 4(2m + 7m − 15) = = 9m 2 + 12m + 4 − 8m 2 − 28m + 60 = m 2 − 16m + 64 = (m − 8)2.

Musi więc być m ⁄= 8 . Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a

{ x1 + x2 = 3m + 2 x x = 2m 2 + 7m − 15 . 1 2

Przekształćmy teraz podaną równość.

2 2 2 2 2 2 = 2x 1 + 5x1x2 + 2x2 = 2(x1 + x2)+ 5x1x2 = 2(x 1 + x 2) + x 1x2 2 = 2 (3m + 2 )2 + (2m 2 + 7m − 15) = 2 2 2 = 2 (9m + 12m + 4) + 2m + 7m − 15 = 20m + 31m − 7 0 = 2 0m 2 + 3 1m − 9 Δ = 312 + 4 ⋅9⋅ 20 = 961 + 72 0 = 1681 = 412 m = −3-1−--41-= − 7-2 = − 9- lub m = −-31+--41-= 10-= 1. 40 4 0 5 40 40 4

Obie otrzymane wartości spełniają oczywiście warunek m ⁄= 8 .  
Odpowiedź: m = − 9 5 , m = 1 4

Wersja PDF