/Szkoła średnia/Równania/Logarytmiczne/Z parametrem

Zadanie nr 3273105

Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie

2 2 (log 3x) − log3x = m

ma dwa rozwiązania należące do przedziału ⟨1 ,+∞ ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oczywiście ze względu na dziedzinę logarytmu musi być x > 0 . Dane równanie możemy zapisać w postaci

(lo g3x )2 − 2 lo g3x = m .

Jeżeli podstawimy teraz t = lo g3x to mamy równanie kwadratowe

t2 − 2t = m.

Sprawa jest więc dość prosta, ale musimy być trochę ostrożni, bo musimy uwzględnić warunek x ∈ ⟨1,+ ∞ ) . Przy tym założeniu mamy t = log3 x ∈ ⟨0,+ ∞ ) . Pytanie więc brzmi: dla jakich wartości parametru m równanie

2 t − 2t = m

ma dwa rozwiązania nieujemne? Najłatwiej odpowiedzieć na to pytanie szkicując wykres lewej strony – jest to parabola o miejscach zerowych 0, 2 i wierzchołku w punkcie (1,− 1) .

PIC

Widać teraz, że powyższe równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki nieujemne dla m ∈ (− 1,0⟩

Na koniec (dla ciekawskich) wykres lewej strony oryginalnego równania, czyli funkcji 2 2 f(x ) = (lo g3x ) − log3 x .

PIC

 
Odpowiedź: m ∈ (− 1,0⟩

Wersja PDF
Rozwiązanie Losuj ponownie