Zadanie nr 3132583
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian
jest równa 8. Oblicz wartość
oraz pierwiastki tego wielomianu.
Rozwiązanie
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian
to po prostu
. Mamy więc równanie
![3 2 W (m ) = 6m + (m + 4)m − 2m − 1 = 8 7m 3 + 4m 2 − 2m − 9 = 0.](https://img.zadania.info/zad/3132583/HzadR3x.gif)
Aby znaleźć pierwiastki powyższego równania szukamy najpierw pierwiastków wśród dzielników wyrazu wolnego – łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy teraz lewą stronę równania przez
– my zrobimy to grupując wyrazy.
![7m 3 + 4m 2 − 2m − 9 = 7m 3 − 7m 2 + 11m 2 − 11m + 9m − 9 = 2 2 = 7m (m − 1) + 11m (m − 1)+ 9(m − 1) = (m − 1)(7m + 11m + 9).](https://img.zadania.info/zad/3132583/HzadR6x.gif)
Trójmian w ostatnim nawiasie nie ma pierwiastków (bo ), więc mamy
i wielomian
przyjmuje postać
![3 2 W (x ) = 6x + 5x − 2x − 1.](https://img.zadania.info/zad/3132583/HzadR10x.gif)
Tym razem sprawdzamy, że jednym z jego pierwiastków jest . Dzielimy
przez
.
![3 2 3 2 2 6x + 5x − 2x − 1 = 6x + 6x − x − x− x− 1 = = 6x2(x + 1) − x(x + 1) − (x + 1) = (x + 1)(6x2 − x− 1).](https://img.zadania.info/zad/3132583/HzadR14x.gif)
Rozkładamy jeszcze trójmian w ostatnim nawiasie.
![Δ = 1+ 24 = 25 1−--5- 1- 1-+-5- 1- x = 12 = − 3 lub x = 12 = 2.](https://img.zadania.info/zad/3132583/HzadR15x.gif)
Odpowiedź: ,