Zadanie nr 1823597

Niech i będą długościami kolejnych boków równoległoboku ABCD , zaś i długościami jego przekątnych. Wykaż, że a2 + b2 ≥ pr .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy równoległobok.

Sposób I

Jak wiadomo w każdym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości jego boków, tzn.

p2 + r2 = 2(a2 + b2).

Musimy zatem wykazać nierówność

1 2 2 2(p + r ) ≥ pr / ⋅2 2 2 p + r ≥ 2pr (p − r)2 ≥ 0.

Nierówność ta jest oczywiście spełniona.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać z twierdzenia o przekątnych równoległoboku, to możemy sami je udowodnić.

Stosując twierdzenia cosinusów w trójkątach ABD i ABC mamy

p2 = BD 2 = a2 + b2 − 2abco sα 2 2 2 2 ∘ 2 2 r = AC = a + b − 2ab cos(18 0 − α) = a + b + 2abco sα.

Dodając te nierówności stronami mamy

p2 + r2 = 2(a2 + b2).

Nierówność uzasadniamy tak jak w I sposobie.