Zadanie nr 1170579
Przez środek okręgu wpisanego w trójkąt
poprowadzono prostą równoległą do boku
, która przecina boki
i
odpowiednio w punktach
i
.
Wykaż, że .
Rozwiązanie
Sposób I
Dorysujmy odcinki i
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/1170579/HzadR2x.gif)
Ponieważ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt
, odcinki
i
są zawarte w dwusiecznych kątów
i
. Zatem
oraz
. Ponadto, z równoległości odcinków
i
mamy
![∡ESA = ∡SAB = ∡SAE ∡DSB = ∡SBA = ∡SBD .](https://img.zadania.info/zad/1170579/HzadR13x.gif)
To oznacza, że trójkąty i
są równoramienne, czyli
![EA = ES DB = DS .](https://img.zadania.info/zad/1170579/HzadR16x.gif)
Stąd
![ED = ES + DS = EA + DB .](https://img.zadania.info/zad/1170579/HzadR17x.gif)
Sposób II
Tym razem niech i
będą punktami styczności okręgu wpisanego z bokami
i
, oraz niech
i
będą rzutami punktów
i
na bok
.
Zauważmy, że trójkąty prostokątne i
mają taki sam kąt
. Ponadto naprzeciw tego kąta w obu trójkątach są odcinki tej samej długości
, gdzie
– promień okręgu wpisanego. W takim razie trójkąty te są przystające i
. Analogicznie uzasadniamy, że trójkąty
i
są przystające, więc
. W takim razie
![EA + DB = SE + SD = ED .](https://img.zadania.info/zad/1170579/HzadR36x.gif)