Zadanie nr 9700967

Oblicz całkę ∫ ∘ --x--- (1−x)3dx .

Rozwiązanie

Ponieważ

∘ ----x---- 1 3 -------3dx = x2(1 − x)− 2dx, (1− x)

więc mamy do czynienia z różniczką dwumienną postaci

xm (a+ bxn )pdx.

W naszej sytuacji mamy

3 m-+--1 -2 3- n + p = 1 + 2 = 0,

więc możemy podstawić t2 = 1−xx-= 1x − 1 (jest to ogólna metoda całkowania różniczek dwumiennych). Mamy wtedy

2 1- t + 1 = x 1 x = -2---- t + 1 dx = --−-2t---. (t2 + 1 )2

Stąd

( ) 3 ( ) 3 ∫ 1 −3 ∫ 1 −3 1 − 2 ∫ − 1 1 − 2 x 2(1− x ) 2dx = x 2 ⋅ x 2 --− 1 dx = x --− 1 dx = ∫ x ∫ x 2 − 3 ---−-2t-- ---dt----- = (t + 1)⋅t ⋅(t2 + 1)2dt = − 2 t2(t2 + 1) = ∫ ( ) = − 2 1-− --1--- dt = 2-+ 2arctg t+ C = t2 t2 + 1 t ∘ ------ ∘ ------ = 2 --x---+ 2a rctg 1-−-x-+ C. 1− x x

Odpowiedź: ∘ -x-- ∘ -1−x- 2 1−x-+ 2 arctg -x--+ C