Zadanie nr 3799707
Wykazać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: 
, 
dla 
i wyznaczyć jego granicę.
Rozwiązanie
Aby wykazać, że ciąg jest zbieżny wystarczy pokazać, że jest on monotoniczny i ograniczony. Bawiąc się chwilę kalkulatorem można zgadnąć, że podany ciąg jest rosnący i ograniczony z góry przez 2. Spróbujmy to uzasadnić.
Jeżeli założymy indukcyjnie, że 
to mamy
Spróbujmy teraz pokazać, że ciąg jest rosnący.
Ponieważ pokazaliśmy już, że 
powyższa nierówność jest spełniona, czyli ciąg jest rosnący.
Skoro wiemy, że ciąg jest zbieżny, oznaczmy jego granicę przez 
i przejdźmy do granicy po obu stronach równości
Oczywiście ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy
