Zadanie nr 3321451

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | = 6 , a punkt jest środkiem podstawy . Okrąg o środku jest styczny do prostej w punkcie . Punkt leży na boku , punkt leży na boku , odcinek jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC | = |LC | = 2 (zobacz rysunek).

Wykaż, że |AM | |MC-|-= 45 .

Rozwiązanie

Prosta jest osią symetrii danego rysunku, więc przecina odcinek w jego środku – oznaczmy ten punkt przez .

Jeżeli oznaczymy KL = 2a , to KE = EL = a oraz

KM = KE = a

(odcinki stycznych do okręgów). Wiemy ponadto, że AC = 6 , więc

AM = 6 − KM − KC = 6 − a − 2 = 4 − a.

Wiemy też, że trójkąty CKL i CAB są podobne w skali KC 2 1 AC- = 6 = 3 . Zatem AB = 3KL = 6a .

W tym miejscu kończą się łatwe obserwacje – jeżeli mamy pójść dalej musimy jakoś wykorzystać fakt, że środkiem narysowanego okręgu jest środek boku – na razie tej informacji nie wykorzystaliśmy. W tym celu dorysowujemy promień , który jest oczywiście prostopadły do stycznej w punkcie , czyli do prostej . Jeżeli to zrobimy i chwilę popatrzymy na otrzymaną konﬁgurację, to można zauważyć, że otrzymaliśmy dwa podobne trójkąty prostokątne – CEK i DMA . To podobieństwo pozwala obliczyć .