Zadanie nr 3542824
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Rozwiązanie
Sposób I
Przekształcamy dane równanie tak, aby spróbować zamienić lewą stronę na iloczyn.
![3 2 3 2 sin x − 3 sinx ⋅cos x− 3co s x + sin x ⋅cos x = 0 sinx (sin 2x − 3 cos2x) − cos x(3 cos2x − sin2x ) = 0 (sin 2x − 3 cos2x)(sin x+ cosx ) = 0 √ -- √ -- (sin x − √ 3-cosx )(sin x + 3c osx√)(sin x+ cosx ) = 0 sinx = 3co sx ∨ sin x = − 3 cosx ∨ sin x = − cosx .](https://img.zadania.info/zad/3542824/HzadR0x.gif)
Zauważmy, że jeżeli , to wtedy
, więc taki
nie spełnia żadnego z powyższych równań. Możemy więc założyć, że
i podzielić każde z równań przez
.
![tg x = √ 3- ∨ tgx = − √ 3- ∨ tgx = − 1.](https://img.zadania.info/zad/3542824/HzadR6x.gif)
Szkicujemy tangensa.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/3542824/HzadR7x.gif)
W przedziale każde z powyższych równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. W sumie mamy więc 3 rozwiązania
![{ π π π } { π 2 π 3π } x ∈ -,π − --,π − -- = --,---, --- . 3 3 4 3 3 4](https://img.zadania.info/zad/3542824/HzadR9x.gif)
Sposób II
Dane równanie wygląda dość nieczytelnie ze względu na dużą liczbę sinusów i cosinusów po lewej stronie. Podstawmy więc i
.
![0 = a3 − 3ab2 − 3b3 + a2b = (a3 + a2b)− 3(ab2 + b3) = 2 2 2 2 = a (a+√ b)− 3b (√a+- b) = (a − 3b )(a+ b) = = (a− 3b)(a+ 3b)(a + b) = 0.](https://img.zadania.info/zad/3542824/HzadR12x.gif)
Otrzymujemy więc równanie
![√ -- √ -- (sin x − 3 cosx)(sin x+ 3co sx)(sin x+ cosx) = 0,](https://img.zadania.info/zad/3542824/HzadR13x.gif)
które rozwiązujemy tak samo jak w I sposobie.
Odpowiedź: