Zadanie nr 1720068
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Rozwiązanie
Dwa problemy są widoczne gołym okiem w danym równaniu – po pierwsze musimy się jakoś pozbyć czwartych potęg. Po drugie mamy dwie funkcje dwóch różnych kątów – gdybyśmy w drugim sinusie mieli zamiast
, to byłoby dużo prościej, bo moglibyśmy skorzystać ze wzorów redukcyjnych. Oba te problemy możemy łatwo rozwiązać jeżeli skorzystamy ze wzoru na
![1 − co s2x cos2x = 1 − 2sin2 x ⇒ sin2 x = ---------- . 2](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR3x.gif)
Używając tego wzoru możemy dane równanie przekształcić następująco
![1 ( )2 ( ( π) )2 --= sin2 x + sin2 x + -- 4 ( 4 ) 1 ( 1− cos2x ) 2 1− cos(2x + π) 2 --= ---------- + --------------2-- / ⋅4 4 2 2 2 2 1 = (1− cos2x ) + (1+ sin 2x) 1 = 1 − 2co s2x + cos2 2x + 1 + 2sin 2x + sin22x 2 2 − 1 = 2sin 2x − 2 cos2x + (sin 2x+ cos 2x ) − 2 = 2sin 2x − 2 cos2x / : (− 2) 1 = cos 2x− sin 2x.](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR4x.gif)
Otrzymane równanie możemy rozwiązać na wiele różnych sposobów.
Sposób I
Korzystamy ponownie ze wzoru na i ze wzoru na
![sin 2x = 2 sinx cos x.](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR7x.gif)
Mamy zatem
![1 = co s2x − sin2x = 1 − 2 sin 2x − 2sin xco sx / : (− 2) 0 = sin x(sinx + co sx).](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR8x.gif)
Mamy zatem , czyli (w zadanym przedziale)
![x ∈ {0,π ,2π }](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR10x.gif)
lub
![sin x = − co sx / : cosx tg x = − 1 { } x ∈ 3π-, 7π 4 4](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR11x.gif)
(mogliśmy podzielić równanie przez , bo jeżeli
to też
, co jest sprzeczne z jedynką trygonometryczną).
W sumie równanie ma więc pięć rozwiązań
![{ 3 π 7π } x ∈ 0,---,π ,---,2π 4 4](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR15x.gif)
Sposób II
Tym razem skorzystamy ze wzoru na różnicę sinusów
![sin(x − y) = sin xco sy − siny cos x](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR16x.gif)
Mamy zatem
![( √ -) 1 = cos2x − sin 2x /⋅ − --2- 2 √ -- --2- π- π- − 2 = sin 2x cos 4 − sin 4 co s2x √ -- ( ) − --2-= sin 2x− π- . 2 4](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR17x.gif)
Teraz musimy być ostrożni, bo wprawdzie , ale
![π ⟨ π 15π ⟩ 2x − -- ∈ − --,---- . 4 4 4](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR19x.gif)
W tym przedziale otrzymujemy następujące rozwiązania
![{ } 2x − π- ∈ − π-,π + π-,2π − π-,3π + π-,4π − π- / + π- 4 { 4 4 }4 4 4 4 3π 7π 2x ∈ 0,---,2π ,---,4π / : 2 { 2 2 } 3π- 7π- x ∈ 0, 4 ,π , 4 ,2π .](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR20x.gif)
Sposób III
Tym razem skorzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów
![x−--y- x-+-y- cosx − cosy = −2 sin 2 sin 2 .](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR21x.gif)
Mamy zatem
![( π- ) 1 = co s2x − sin2x = cos 2x − cos 2 − 2x (π- ) π- 1 = − 2 sin 2x-−---2-−-2x--sin 2x-+-2-−--2x- ( 2 ) 2 ( ) π- π- √ -- π- √ -- 1 = − 2 sin 2x− 4 sin 4 = − 2 sin 2x− 4 / : (− 2) √ -- ( ) − --2-= sin 2x − π- . 2 4](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR22x.gif)
Dokładnie tak samo jak w II sposobie otrzymujemy stąd
![{ } 3π- 7π- x ∈ 0, 4 ,π , 4 ,2π .](https://img.zadania.info/zad/1720068/HzadR23x.gif)
Odpowiedź: