Zadanie nr 1963665

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 2 1 √-2 sin x cos x = 8 + 16 należące do przedziału ⟨0,π⟩ .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzorów

sin 2α = 2sin αcos α cos2 α = 1 − 2sin2 α.

Przekształcamy dane równanie

√ -- 2 2 1 2 sin xco s x = -+ ---- / ⋅4 8 1 6√ -- (2 sin x cosx)2 = 1-+ --2- 2 4 1 √ 2- sin2 2x = -+ ---- / ⋅2 2 4√ -- 2 2 2 sin 2x = 1 + -2-- √ -- − --2-= 1− 2sin22x 2-- √ 2 − ----= cos4x . 2

W tym momencie musimy być ostrożni, bo wprawdzie x ∈ ⟨0,π ⟩ , ale wtedy 4x ∈ ⟨0,4π⟩ .

Rozwiązaniem powyższego równania są więc liczby

{ π π π π } 4x ∈ π − -,π + --,3π − --,3π + -- { 4 4 } 4 4 4x ∈ 3π-, 5π-, 11π-, 13π / : 4 4 4 4 4 { } x ∈ 3π-, 5-π, 11π-, 13π 1 6 16 1 6 16

Odpowiedź: { } x ∈ 3π-, 5π, 11π, 13π 16 16 16 16